1.4 Análisis matemático de señales: Análisis de Fourier

El análisis de Fourier debe su nombre a Jean Baptist Joseph Fourier (1768-1830), un matemático y físico  francés. Si bien muchas personas contribuyeron a su

desarrollo, Fourier es reconocido por sus descubrimientos matemáticos y su visión en el uso práctico de las técnicas. Su interés se centraba en la propagación de calor, presentando en 1807 un trabajo en el Instituto Francés sobre el uso de funciones senoidales para representar distribuciones de temperatura.

El análisis de Fourier es elemental para entender el comportamiento de las señales de sistemas. Este es el resultado de que los senosoidales son eigenfunciones  de sistemas lineales  variantes en el tiempo (LTI). Si pasamos cualquier senosoidal a través de un sistema LTI, obtenemos la versión escalada de cualquier sistema senosoidal como salida.

Entonces, ya que el análisis de Fourier nos permite redefinir las señales en términos de senosoidales, todo lo que tenemos que hacer es determinar el efecto que cualquier sistema tiene en todos los senosoidales posibles (su función de transferencia)  así tendremos un entendimiento completo del sistema.

Así mismo, ya que podemos definir el paso de los senosoidales en el sistema como la multiplicación de ese senosoidal por la función de transferencia en la misma frecuencia, puedes convertir el paso de la señal a través de cualquier sistema de ser una convolución (en tiempo) a una multiplicación (en frecuencia) estas ideas son lo que dan el poder al análisis de Fourier.

Las cuatro transformadas de Fourier que forman parte de este análisis son: Series Fourier, Transformada de Fourier continua en el tiempo,  Transformada de Fourier en Tiempo Discreto, y La Transformada de Fourier Discreta.

Teorema de Fourier - Serie trigonométrica

Gracias al teorema de Fourier es posible demostrar que toda función periódica continua, con un número finito de máximos y mínimos en cualquier período, puede desarrollarse en una única serie trigonométrica uniformemente convergente a dicha función, llamada serie de Fourier.